托勒密定理的六种证明方法:托勒密定理ab×cd+ad×cb=ac×bd

若四边形ABCD为圆O的内接四边形，且ABCD按顺时针或逆时针方向排列，则有AB × CD + BC × DA = AC × BD应用托勒密定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，可以推出正弦余弦的和差公式及一系列的三角恒等式它也是证明某些几何问题的重要工具，特别是在处理与圆相关的几何问题时。

将1和2相加，得到ACBE+ED等于AB·CD与AD·BC之和如果四边形ABCD是圆的内接四边形，当BE+ED等于BD时，等式成立，这就是著名的托勒密定理在复数表示法中，将顶点ABCD的坐标表示为复数，利用复数恒等式和三角不等式，可以进一步证明托勒密定理是圆内接四边形性质的体现对于圆。

托勒密定理证明过程如下设四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，O为四边形的内心，r为内接圆的半径则由内切圆的性质可以得到AO=CO=r和BO=DO=r通过勾股定理可以得到AB#178=AO#178+BO#178，CD#178=CO#178+DO#178将AO=CO=r和BO=DO=r代入上式得到AB#178=2r#。

托勒密Ptolemy定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积在直线上，托勒密定理同样成立，这时也称为欧拉定理托勒密定理的逆定理同样成立一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆推广及证明 托勒密不等式四边形的任两组对边乘积不小于另外。